Ecuaciones matemáticas, primitivas de la Graficación

 

La graficación consta de la creación de figuras por medio de lineas y puntos para un objetivo específico, así pues las figuras constan de una ecuación que las representa, de tal manera que si hablamos de la graficación también es importante comprender que funciones son utilizadas para crear ese conjunto de pixeles que toman una forma específica.

Puntos

Un punto es creado por operadores and, or o not debido a que solo es necesario un pixel.

Líneas

Una linea es un conjunto de puntos alineados de forma recta entre ellos, sin embargo en la graficación estos se presentan en forma de escalera debido a los pixeles que necesitan.
 La ecuación para una línea es Y=mx+b donde m representa la pendiente.
Donde b es la intersección de Y y depende de las coordenadas dadas (X₁,X₂) y (Y₁,Y₂) . 
El algoritmo para la realización de una recta está dado por la ecuación inicial Y=mx+b y los cálculos de m=y₂-y₁ / X₂-X₁  y de  b= y₁₌ m* X₁
 Para el seguimiento de una línea se usa un algoritmo llamado DDA (digital diferencial analyzer)este es un método para calcular posiciones de pixeles,  este consiste en el rastreo de una línea aproximando los puntos a valores enteros cerca de la línea con las ecuaciones delta Y =mDeltaX y  DeltaY =DeltaY/m. a ecuación básica para el trazado de una linea es de la manera y_k+1=X_k + 1/m  dependiendo si la pendiente es menor o igual a 1 puesto que el valor k va incrementando de unidad en unidad calculando el valor sucesivo.
 El algoritmo toma las posiciones del pixel en los extremos, las diferencias de x y Y entre las posiciones de los pixeles de los extremos dx y dy, al tener las posiciones del siguiente pixel se determina la trayectoria de la linea.

Circulos

Es una línea curvada con eje en el centro dividida en 8 secciones simétricas y todas estas equidistantes del punto céntrico.
Su ecuación esta definida por o   F(x,y)= X₂+Y₂ -r²
En donde cualquiera que sea el punto que se tome como parte de la circunferencia con un radio especifico cumple con la ecuación f(x,y)=0.
Sin embargo los puntos y el resultado que arroje la ecuación nos habla de donde esta posicionado de acuerdo a lo siguiente:
F(x , y)= 0 El punto se encuentra en la curva del circulo
F(x , y)> 0 El punto se encuentra encima de la curva
F(x , y)< 0 El punto se encuentra debajo de la curva

El algoritmo realiza un muestreo de intervalos determinando el pixel mas cercano, es decir que se establece un pixel con la función x_k+1 y este compara dos posiciones probables tales como x_k+1, Y_k o x_k+1, Y_k-1, existe un parámetro para decidir sobre esto, y este s la función de la circunferencia evaluada en el punto medio de estos dos pixeles probables.
 P_k=f(X_k+1,Y_k-1/2) =(X_k+1)²+(Y_k-1/2)² -r²
Mientras que el parámetro inicial de decisión se obtiene por los puntos de inicio (x,y)=(0,r)
P₀=F(1,r-1/2) = 1+(r-1/2)₂ -r²
P₀= 5/4 -r

Elipses

Una elipse es una circunferencia alargada con 2 ejes perpendiculares llamados focos en donde la suma de las distancias entre un punto y ls dos focos debe ser igual en todos los puntos.
Su ecuación general es d₁+d₂=k donde k representa una constante, donde d₁ y d₂ representan las distancias del punto hacia los focos.
Por lo tanto tenemos que la ecuación de una elipse esta dada por
Ax²+ Bx²+ CXy+Dx+Ey+E=0
Donde sus variables son evaluadas en términos de las coordenadas focales y los ejes.

Parábolas    

Una parábola es un conjunto de puntos que están equidistantes de un foco y una directriz llamada r y donde el eje focal se llama vértice.
d(F,P)= d(P,d) esta definición presenta a una parábola como un conjunto de datos de acuerdo a una propiedad geométrica.
y = Ax^2 + Bx + C que presenta la ecuación de una parábola de forma vertical.
En esta ecuación el termino A juega un papel importante en la orientación de la curva, puesto que si esta es positiva, la parábola es concava hacia arriba, si esta es negativa es concava hacia abajo, B representa la pendiente con respecto a su corte en Y, y  donde C es el punto del eje de las Y por el que pasa la parábola.

Hipérbolas

Una hipérbola es un par de curvas planas y simetricas separadas pero a la vez dispuestas perpendicularmente entre sí, estas poseen un par de focos de los cuales su relación resulta ser una constante.
Se tiene que su ecuación |d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a donde se expresa la distancia de un punto genérico a los focos respectivos y donde 2ª representa una constante.
Para una hiperbola de eje focal horizontal (x−x0)²/a²−(y−y0)²/b²=1
Y donde el eje focal es vertical es (y−y0)²/a²−(x−x0)2/b2=1
Y donde su eje focal horizontal esta centrada en el origen x²/a²−y²/b²=1
Eje focal vertical centrado en el origen y²/a²−x²/b²=1
Donde a representa el eje real y b el eje imaginario